שינויים

'''הגדרה''' יהיו A,B קבוצות אזי <math>A^B:=\{f:B\rightarrow A\}</math>.

'''פתרון.'''

'''הוכחה.'''

הוכחה <math>2^b\leq a^b\leq (2^a)^b=2^{ab}=2^b</math>

הוכח כי <math>\aleph_0+\aleph=\aleph</math>

דרך ב- מהנוסחא. <math>\aleph_0+\aleph=max\{\aleph_0,\aleph\}=\aleph </math>

הוכח כי <math>\aleph \cdot \aleph=\aleph </math>

דרך ג- מהנוסחא- <math>\aleph \dots \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph </math>

הוכח כי <math>|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|=\aleph</math>

<math>\aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_o=a<\aleph</math>. סתירה

תהי A קבוצה אינסופית. נסמן <math>a=|A|,\;B=P(A),\;F=A\times P(A),\; C=P(A)^A,\; H=B^B</math>

יהי S יחס על <math>\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> (קבוצת כל הפונקציות הממשיות), המוגדר על ידי <math>(f,g)\in S</math> אם"ם לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים <math>f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}</math>

סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל<math>\aleph^\aleph</math> וזה שווה ל<math>2^\aleph</math> לפי התכונות לעיל.

א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.