שינויים
'''הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות:''' תהי <math>X</math> משפחה לא ריקה של קבוצות, הסגורה לאיחוד של שרשראות. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי.
== שימושים ==
'''הערה'''. המשפט על קיום בסיס למרחב וקטורי הוא מקרה פרטי: אם M הוא מרחב וקטורי מעל השדה F, כל תת-מרחב חד-ממדי הוא פשוט, ולכן M שווה לתשתית של עצמו. לפי המשפט M הוא סכום ישר של תת-מרחבים חד-ממדיים, כלומר יש לו בסיס.
== הוכחת הלמה של צורן ==
בסעיף זה נוכיח את הלמה של צורן. למעשה נוכיח טענה חזקה יותר.
=== קבוצות סדורות היטב ===
אומרים שקבוצה סדורה <math>A</math> היא '''סדורה היטב''' אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר ראשון (איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחר בתת-הקבוצה; לא די בקיומו של איבר מינימלי).
'''הערות'''
# כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכן, יהיו <math>a,b</math> אברים בקבוצה, אז בקבוצה הלא-ריקה <math>\{a,b\}</math> יש איבר ראשון, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני. לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.
# כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> - גם היא סדורה היטב. (משום שכל תת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של <math>A</math>, ולכן יש בה איבר ראשון).
# שרשרת היא סדורה היטב אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר מינימלי.
==== רישות ====
תת-קבוצה <math>H</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר כל איבר של <math>A</math> הקטן מאיזשהו איבר של <math>H</math> שייך גם הוא ל <math>H</math>.
בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא.
'''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של <math>A</math> הוא רישא.
לכל <math>a\in A</math> נסמן <math>\ A_{<a} = \{x \in A : x < a\}</math>. זוהי תמיד רישא של A.
'''טענה'''. לכל רישא <math>H\neq A</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> קיים <math>a \in A</math> כך ש-<math>H = A_{<a}</math>.
'''הוכחה'''. כיון ש <math>H</math> סגורה כלפי מטה ו <math>A</math> סדורה קוית, כל איבר של <math>A</math> שאינו ב <math>H</math> הוא חסם מלעיל של <math>H</math>.
בפרט, קבוצת החסמים מלעיל של <math>H</math> אינה ריקה ויש בה איבר ראשון <math>a</math>. מאותה סיבה, קל לראות ש <math>H=A_{<a}</math>.
'''מסקנה'''. תהי <math>A</math> קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין <math>A</math> לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A.
במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של <math>A</math>, הסדורה על ידי היחס <math>\subseteq</math>, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-<math>A</math>.
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה היטב לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.
גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף תת-הקבוצות הסדורות היטב של X. לפי ההנחה, כל <math>W\in \Omega</math> היא חסומה מלעיל. יתרה מזו, לפי הנחת השלילה אין ב-W איבר מקסימלי של X, ולכן אפילו הקבוצה <math>\ W^{\circ} = \{x \in X : W < x\}</math> אינה ריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה <math>\ p : \Omega \rightarrow X</math>, המתאימה לכל <math>\ W \in \Omega</math> איבר <math>\ p(W) \in W^{\circ}</math>, כלומר לכל W מתקיים <math>\ W < p(W)</math>.
נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקת''' אם לכל <math>\ w\in W</math> מתקיים <math>p(W_{<w}) = w</math>. (שימו לב שבכל מקרה האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>). ('''הערה'''. השאלה איזו תת-קבוצה W היא מדוייקת תלויה בפונקציה p, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו).
נסמן ב-<math>\ \Omega^*</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת.
'''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega^*</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>; אז Q רישא משותפת בעצמה. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1.
'''מסקנה 2'''. <math>\ \Omega^*</math> סדורה לינארית. אכן, מכל שני אברים של <math>\ \Omega^*</math>, אחד הוא רישא של השני, ולכן מוכל בו.
'''מסקנה 3'''. <math>\ U</math> היא שרשרת. אכן, לכל <math>\ a,a' \in U</math> יש <math>\ W,W' \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ a\in W, a' \in W'</math>; ולפי מסקנה 2 אפשר להניח <math>\ W \subseteq W'</math> (או להיפך) ואז <math>\ a,a' \in W'</math>, והרי <math>\ W'</math> שרשרת.
'''טענה 4'''. כל <math>\ W \in\Omega^*</math> הוא רישא של U. אכן, <math>\ W \subseteq U</math> לפי ההגדרה של U כאיחוד הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>, ולפי טענה 1, W היא רישא של U.
'''טענה 5'''. U סדורה היטב. תהי A תת-קבוצה לא ריקה של U, אז יש <math>\ W \in \Omega^*</math> החותכת את A באופן לא ריק, ומכיוון ש-W סדורה היטב, יש לחיתוך <math>\ A \cap W\neq \emptyset</math> איבר מינימלי, m. נראה ש-m הוא המינימום של A כולה. יהי <math>\ a \in A</math>. לפי מסקנה 3, a בר-השוואה עם m. אם <math>\ a < m</math> נקבל מטענה 4 ש-<math>\ a \in W</math> בסתירה למינימליות של m. לכן <math>\ m \leq a</math>, כפי שרצינו.
'''טענה 6'''. <math>\ U \in \Omega^*</math>. עלינו להראות ש-U מדוייקת, ולאור טענה 5, די להראות שלכל <math>\ u \in U</math> מתקיים <math>\ p(U_{<u}) = u</math>. אבל לפי הגדרת U, יש <math>\ W \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ u \in W</math>, ואז <math>\ U_{<u} \subset W</math> והטענה נובעת מכך ש-W מדוייקת.
מכיוון ש-U סדורה היטב, יש איבר <math>\ p(U) \in X</math>. כצעד אחרון בהוכחה, נראה שגם <math>\ \bar{U} = U\cup\{p(U)\} \in \Omega^*</math>. ברור ש-<math>\ \bar{U}</math> היא שרשרת. אם <math>\ u \in \bar{U}</math>, יש שתי אפשרויות: אם <math>\ u = p(U)</math> אז <math>\ \bar{U}_{<u} = U</math> וממילא <math>\ p(U) = u</math>; ואחרת <math>\ p(\bar{U}_{<u}) = p(U_{<u}) = u</math> לפי טענה 6. אבל מהגדרת U נובע עכשיו ש-<math>\ \bar{U} \subseteq U</math>, וזו סתירה משום שלפי הנחת השלילה <math>\ U < p(U)</math>.
== קשרים לאקסיומות של המתמטיקה ==
