שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות

נוספו 152 בתים, 07:08, 31 באוגוסט 2015
יהיו תהיינה $ f,g $ פונקציות.
\begin{theoremthm} אם $$ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $ $אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של סדרה פונקציה חסומה בסדרה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו סדרה היא פונקציה ששואפת ל-0)
\end{theoremthm}
\begin{proof}
נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ (כש- $x$ שואף ל-0 $a$ )
\end{proof}
$\\$ \begin{theoremthm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $
\end{theoremthm}
\begin{proof}
שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ואם נשתמש ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות נקבל את הדרוש:$$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$השאר מוכחים באופן דומה.
\end{proof}
307
עריכות