שינויים
=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in\mathbb{R}</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש:<math>\lim_{x\rightarrow to x_0}f(x)=L</math>:<math>\lim_{x\rightarrow to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
== מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>
אזי אם הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}\frac{f}{g}</math>
===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to\infty} \frac{\ln(x)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_{x\rightarrow to\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow to\infty} \frac{\frac{1}frac1{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow to\infty} \frac{1}frac1{x} = 0</math>
===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to 0} \frac{\ln(1+x+1)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_{x\rightarrow to 0} \frac{\ln(x+1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow to 0} \frac{\fracfrac1{x+1}{1+x}}{1}=1</math>
===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_{x\rightarrow to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow to\frac{\pi}{2}} \frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>
== מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==
נניח <math>L=0</math>, <math>M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to x_0}f\cdot g</math>.
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to 0}xln\Big[x\cdot\ln(x)\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>-\infty\cdot 0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim_{x\rightarrow to 0}xln\Big[x\cdot\ln(x) \Big] = \lim_{x\rightarrow to 0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}frac1{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>= \lim_{x\rightarrow to 0}\frac{\frac{1}frac1{x}}{-\frac{1}frac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow to 0}-x = 0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to\infty}\Big[e^xsinx\bigcdot\sin(\frac{1}tfrac1{x}\big)\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>\infty\cdot 0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}\Big[e^xsinx\bigcdot\sin(\frac{1}tfrac1{x})\big) Big] = \lim_{x\rightarrow to\infty}\frac{sin\bigsin(\frac{1}tfrac1{x}\big)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
<math>= \lim_lim\limits_{x\rightarrow to\infty}\frac{-\frac{-1}frac1{x^2}\cdot\cos\big(\frac{1}frac1{x}\big)}{-e^{-x}}.</math>
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to\infty}\cos\big(\frac{1}tfrac1{x}\big)=1</math>, לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}\frac{e^x}{x^2}= \lim_{x\rightarrow to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\rightarrow to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim_{x\rightarrow to \infty}\Big[e^xsinx\bigcdot\sin(\frac{1}tfrac1{x}\big)\Big]=\infty</math>
== מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow to x_0}f^g</math>.
כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1,M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty, M=0</math>.
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי <math>f^g = e^{\ln(f^g)} = e^{glng\cdot\ln(f)}</math>,
שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}gln\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math>.
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim_{x\rightarrow to x_0}f^g=e^K</math>
===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrowto\infty}\sqrt[x]{x}</math>.
ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
