שינויים

'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת לנוסחת האינטגרציה הבאה:

::<math>\int{f'\cdot g}=fgf\cdot g-\int{fgf\cdot g'}</math>

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת מנוסחת גזירת כפל:::<math>(fgf\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על -ידי גזירתו. ייתכן יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

<math>\int{xcosx\cdot\cos(x)}=?</math>

נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>

ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math>

ולפי נוסחאת לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

::<math>\int{xcosx\cdot\cos(x)}=xsinx\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=xsinx\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math>.

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה. <math>\int{e^xcos(x)}=?</math> נסמן  ::<math>I=\int{e^xcosx\cdot\cos(x)}</math>

::<math>I=e^xcosx\cdot\cos(x)+\int{e^xsinx\cdot\sin(x)}=e^xcosx\cdot\cos(x)+e^xsinx\cdot\sin(x)-\int{e^xcosx\cdot\cos(x)}=e^x\Bigbig(\sin(x)+\cos(x)\Bigbig)-I</math>

::<math>2I=e^x\Bigbig(sin(x)+\cos(x)\Bigbig)</math>

::<math>\int{e^xcosx\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\Bigbig(\sin(x)+\cos(x)\Bigbig)}{2}+C</math>.

  ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1 </math> כנגזרת של הפונקציה <math>x </math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>

ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

נפעיל את נוסחאת נוסחת אינטגרציה בחלקים:

::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math> 

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].