שינויים
כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל
<math>|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}</math>
=המטריצה הנילוות (המצורפת)=
'''הגדרה''' תהי <math>A\in F^{n\times n</math> , המטריצה נילווית שלה היא המטריצה <math>adj(A)=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}</math>.
(שימו לב להחלפה בין <math>i</math> ו <math>j</math !)
דוגמא
==המשפט המרכזי==
<math>A(adjA)=(adjA)A=|A|I</math>
תוצאה: אם <math>A</math> הפיכה אז <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>.
===תרגיל===
תהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה.
1. הוכח כי <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math>.
2. חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>.
פתרון
1. ראשית נניח כי <math>|A|\neq 0</math>, אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: <math>|AadjA|=||A|I|</math> ונקבל <math>|A||adjA|=|A|^n</math> נחלק בדטרמיננטה ואז <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math> כדרוש.
כעת נניח <math>|A|=0</math> וצריך להוכיח כי <math>|adjA|=0</math>.
לפי המשפט <math>(adjA)A=|A|I=0</math>
אם <math>A=0</math> אז ברור ש <math>adjA=0</math> לפי ההגדרה.
אחרת, יש איזשהי עמודה של <math>A</math>שהיא לא אפס, <math>C_k(A)</math>. ואז <math>adjA\cdot C_k(A)=0</math> מה שאומר ש<math>adjA</math> לא הפיכה ואז <math>|adjA|=0</math>.
