שינויים
/* המטריצה הנילוות (המצורפת) */
=המטריצה הנילוות (המצורפת)=
'''הגדרה''' תהי <math>A\in F^{n\times n{}</math>, המטריצה נילווית שלה היא המטריצה <math>adj(A)=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}</math>.
(שימו לב להחלפה בין <math>i</math> ו <math>j</math !)
תהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה.
1. הוכח כי <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math>.
2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>.
פתרון
אם <math>A=0</math> אז ברור ש <math>adjA=0</math> לפי ההגדרה.
אחרת, יש איזשהי עמודה של <math>A</math>שהיא לא אפס, <math>C_k(A)</math>. ואז <math>adjA\cdot C_k(A)=0</math> מה שאומר ש<math>adjA</math> לא הפיכה ואז <math>|adjA|=0</math>.
2. נשתמש במשפט עבור המטריצה <math>B=adjA</math>, אזי <math>(adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I</math>. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש<math>adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}</math>. ומכיוון ו<math>adjA^{-1}=\frac{A}{|A|}</math> אז <math>adj(adjA)=A|A|^{n-2}</math>.
===תרגיל===
תהי <math>A\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> ונתון שהיא הפיכה ב<math>\mathbb{R}^{n\times n}</math> (כלומר שיש מטריצה ''ממשית'' <math>B</math> כך ש <math>AB=BA=I</math>). הוכיחו כי היא הפיכה ב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math>.
'''פתרון:'''
מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math> יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש<math>A^{-1}</math> הממשית היא בעצם עם איברים ב<math>\mathbb{Q}</math>.
לפי המשפט <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>.
<math>|A|\in \mathbb{Q}</math> כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי <math>A</math> שהם רציונליים.
<math>adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> כי האיברים הם <math>(-1)^{i+j}|M_{ji}|</math> שהם גם רציונלים (כמו קודם).
סה"כ קיבלנו <math>A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math>.
