=העתקות לינאריות (ההע"ל)=
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ההע"ל היא פונקציה <math>T:V\to W</math> אם
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
2. ההעתקה <math>V=trace:\mathbb{F}^{n\times n},\,W=to \mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
3. ההעתקה <math>V=D:\mathbb{R}_{n}[x],\,W=to \mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math> המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא ההע"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא ההע"ל.
5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא ההע"ל.
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math>
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ההע"ל.
=== דוגמאות נגדיות ===
אזי העתקה <math>f:V\to W</math> המוגדרת
<math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v</math>
אינה ההע"ל.
כי למשל
== תרגיל ==
יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי ההע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>
הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math>
וקטורים כלשהם.
אזי קימת ההע"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math>
'''מסקנה''' ניתן להגדיר ההע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V'''
===דוגמאות ===
==== דוגמא 1 ====
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''ההע"ל <math>T:V\to V</math>
המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math>
שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math>
</math>
האם קיימת ההע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>?
פתרון:
<math>v_3= 3v_1-2v_2</math>
לכן גם אם נפעיל את ההע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר
<math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math>
מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ?
תשובה: לא היינו יכולים להגדיר ההע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>
== הגדרות==
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V</math>#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgTImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\leq W</math>#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgTImT)</math>
=== דוגמאות ===
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> ההע"ל. הוכח
# <math>KerT \subseteq KerT^2</math>
# <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>
== משפט ==
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.
אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>
=== תרגיל: ===
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי
# אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל
# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>
== תרגיל ==
תהא <math>T:V\to V</math> ההע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>
הוכחה:
== משפט הדרגה ==
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math>
'''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
=== תרגיל ===
נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצt מצא בסיס לגרעין העתקה.
פתרון:
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> ההע"ל. הוכח שהבאים שקולים
1. <math>KerT = KerT^2</math>
== הפיכות ואיזמורפיזם ==
ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש ההע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>
'''משפט'''
<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל
(שימו לב שידוע ש'''פונקציה''' חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה '''הפונקציה''' היא ההע"ל)
'''תכונות'''
# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>
# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי ההע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>
# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math>
=== איזומורפיזם ===
'''הגדרה''' ההע"ל <math>T:V\to W</math> תקרא
# מונומורפיזם אם <math>T</math> חח"ע
# אפימורפיזם אם <math>T</math> על
(<math>\Rightarrow</math>) נבחר בסיס <math>B</math> עבור <math>V</math>. מהנתון, קיימת <math>T:V\to W</math> הפיכה. לכן <math>|B|=|T(B)|</math> ובנוסף, <math>T(B)</math> בסיס ל <math>W</math>. זה אומר שהמימדים שווים.
(<math>\Leftarrow </math>) נבחר <math>B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\}</math> בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר <math>T:V\to W</math> ע"י <math>Tv_i=w_i</math>. במקרה זה <math>T</math> ההע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.
'''הערה''' אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס