שינויים
/* הרצאה שניה */
== הרצאה ראשונה==
'''מבוא לתורת המספרים'''
'''תרגיל'''. בכתה הגדרנו מחלק משותף מקסימלי לגבי יחס הסדר הרגיל, ואמרנו שלו היינו מגדירים לפי יחס החלוקה היינו מקבלים אותו הדבר. הוכיחו טענה זו. כלומר, הראו שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק את המחלק המשותף המקסימלי.
== הרצאה שניה ==
לסיום הפרק הראשון הגדרנו את יחס השקילות <math>\ a \equiv b \pmod{n}</math> (אם ורק אם <math>\ n|(a-b)</math>). מחלקות השקילות שלו הן <math>\ \mathbb{Z}_n = \{[0],[1],\dots,[n-1]\}</math>. מתברר שפעולות החיבור והכפל לפי רכיבים מגדירות פעולות בין המחלקות. '''משפט השאריות הסיני''' קובע שאם n,m זרים, אז הפונקציה <math>\ \mathbb{Z}_{nm} \rightarrow \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m</math> המוגדרת על-ידי <math>\ [x]_{nm} \mapsto ([x]_n,[x]_m)</math> (תרגיל: הוכח שהיא מוגדרת היטב; מה יש לבדוק?) היא חד-חד-ערכית ועל.
'''מערכת מתמטית''' כוללת קבוצה, פעולות, יחסים וקבועים (או חלק מהם). המשך הקורס יעסוק בכמה מערכות מתמטיות חשובות: חבורות, חוגים ושדות. לפני שנעסוק בחבורות באופן ישיר, נפגוש שני מבנים אלגבריים פשוטים יותר: חבורות למחצה ומונוידים.
'''חבורה למחצה''' היא קבוצה עם פעולה בינארית אסוציאטיבית. דוגמא כללית: אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה. (במובן מסויים, כל חבורה למחצה היא אוסף של פונקציות מקבוצה מתאימה לעצמה [בעתיד נוכיח תוצאה דומה על חבורות]). שימו
לב שכדי שקבוצה חלקית של אוסף כל הפונקציות מ-X ל-X תהיה חבורה למחצה, די בכך שהיא תהיה '''סגורה להרכבה''' (משום שהאסוציאטיביות היא אוטומטית).
איבר של חבורה למחצה המקיים את התנאי <math>\ ex=xe=x</math> לכל x הוא "איבר יחידה". לא תמיד יש כזה, אבל אם הוא קיים - הוא יחיד. חבורה למחצה שבה יש איבר יחידה, נקראת '''מונויד''' (או "יחידון").
