שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה רציפה במידה שווה

הוסרו 2 בתים, 19:51, 20 בספטמבר 2016
פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I </math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> בקטע, אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך -כלל היא חזקה יותר. 
==משפט==
===הוכחה===
תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות
 
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math>
 
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math>
 
 
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
 
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math>
 
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
 
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-
 
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.
[[קטגוריה:אינפי]]
225
עריכות