שינויים
:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>
הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור <math>f וg ,g</math> בעלות נגזרות רציפות.
(אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו - <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)
==דוגמאות==
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
<math>\int{x\cdot\cos(x)}dx=?</math>
נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
:<math>\int{x\cdot\cos(x)}dx=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}dx=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> .
ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייההבעיה.
<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}dx=?</math>
נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}dx</math>
לכן
:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}dx=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>
ולכן
:<math>2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)</math>
ומכאן יוצא
:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx=?</math>
נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=</math>
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=</math>
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx+a^2\int{\frac1frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].
