שינויים
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>
==מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .
===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]</math> .
זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac1frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac1frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .
זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>
==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
