שינויים

::<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\ldots</math>

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>

::<math>b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...,\ldots\}</math>::<math>b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\ldots\}</math>::<math>b_3=\sup\{a_3,a_4,...\ldots\}</math>::::::<math>\vdots</math>::<math>b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\ldots\}</math>

כלומראם כך, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' איברי סדרת החסמים <math>b_i</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרהחסומה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעילפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{i\to\infty}b_i=\inf\{b_1, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.b_2,b_3,\ldots\}</math>

אם כך, סדרת החסמים <mathfont size=3 color=#3c498e>b_i'''נגדיר'''</mathfont> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם את '''הגבול העליון''' של הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}a_n</math>להיות

<font size=3 color=#3c498e>'''נגדיר'''</font>את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>a_n</math> להיות  ::<math>\limsup_{n\rightarrowto\infty} a_n:=\lim_lim\limits_{i\rightarrowto\infty}b_i</math> במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמאות.''' </font> *נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math>: ::<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>::<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>

ולכן הגבול העליון הינו::<math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1</math>  נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math>:

::<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>::<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>

*נביט בסדרה :<math>a_nb_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{n2}</math>.

::<math>b_1b_3=\sup\{1,left\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>

::::<math>b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}vdots</math>

::<math>b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}b_i=\frac{1}{3i}</math>

:::ולכן הגבול העליון הנו <math>\vdotslim\limits_{i\to\infty}b_i=0</math>

::<math>b_ic_1=\inf\left\{1,\frac{1}{i2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

ולכן הגבול העליון הינו :<math>c_3=\lim b_iinf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

::::<math>c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0vdots</math>

::<math>c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}c_i=0</math>

::ולכן הגבול התחתון הנו <math>c_3=\inflim\limits_{i\frac{1}{3},to\frac{1infty}{4},...\}=0</math> :::<math>\vdots</math> ::<math>c_i=0</math>  ולכן הגבול התחתון הינו <math>\lim c_i = 0</math>

 '''משפט.''' לכל סדרה יש תת -סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש - <math>\forall n:a_n\leq le b_n</math>. הוכח/הפרך:

1. <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup_{n\to\limsup infty}b_n</math>

2. <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\liminf_{n\to\liminf infty}b_n</math>

3. <math>\liminf liminf_{n\to\infty}a_n \leq le\liminf_{n\to\liminf infty}b_n</math>  '''פתרון.'''

* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\rightarrow to\limsup limsup_{n\to\infty}a_n</math>* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq le b_{n_k}</math>* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת -סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrowto\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>* כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow to\limsup limsup_{n\to\infty}a_n</math>* מכיוון מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת -סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.** כלומר, <math>\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הינו הנו גבול חלקי של <math>b_n</math>.* הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\leqle\limsup limsup_{n\to\infty}b_n</math>* כמו כן, כיוון כיון ש - <math>a_{n_{k_j}}\leq le b_{n_{k_j}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>

ביחד אנו מקבלים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup_{n\to\limsup infty}b_n</math>

ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf liminf_{n\to\infty}a_n = -\limsuplimsup_{n\to\infty}{(-a_n)}</math>

::<math>\limsup limsup_{n\to\infty}(-a_n)\geq ge\limsup limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>::<math>-\limsup limsup_{n\to\infty}(-a_n)\leq le-\limsup limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>::<math>\liminf liminf_{n\to\infty}(-a_n)\leq le\liminf_{n\to\liminf infty}(-b_n)</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

::<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math> '''הוכחה.'''

*כיוון כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf liminf_{n\to\infty}a_n \in A</math>

*כיוון כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.