שינויים

<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to\frac{\pi}{2} +\pi k}tgx \Big[\tan(x)- x\Big]= \lim_lim\limits_{x\rightarrow to\frac{\pi}{2} +\pi k}\left[\frac{sinx\sin(x)}{cosx\cos(x)} - x \right]= \pm \infty</math>

ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף, וזה קורה אינסוף פעמים (לכל k). בפרט, 0 מתקבל אינסוף פעמים, ולכן <math>tgx\tan(x)=x</math> אינסוף פעמים.

רציפה או לא? קח את <math>x </math> על הרציונלייםהרציונאלים, ו2x ו- <math>2x</math> על האי רציונליים-רציונאלים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית.

נניח שיש לי פונקצייה פונקציה שמוגדרת בתחום <math>x>a</math> , ובדיוק בנק' <math>x=a </math> יש אי-רציפות בצורה של 'אסימפטוטה' - האם זו אי -רציפות מסוג ראשון, או שני?

אי -רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודה

אי -רציפות ממין ראשון: קיימים גבולות חד -צדדיים סופיים בנקודה

אי -רציפות ממין שני: כל מצב אחר

 הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו, באמת בהקשר השאלה שלך, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסוים. כלומר, מה היא האי -רציפות של פונקציה <math>\frac{x}{\sqrt{x}}</math> בנקודה אפסבאפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה זה מין שני כי לא קיים הגבול החד -צדדי משמאל. מצד שני, אם נחליף את הנקודה ב0 באפס נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף- <math>[x,0]\infty)</math> , אז זה נשמע כמו סליקה. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזה.

איך אפשר להוכיח שאם יש לי סדרה : <math>a_n</math> המתכנסת ל-0לאפס, אזי : <math>\frac{1}{n}\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}}{n} = 0</math> (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול) ?

לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנס...בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע הממוצע החשבוני של <math>\ a_n </math>,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני של <math>\ a_n </math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> לכן אם הגבול של <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> הוא 0 אפס זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :)

הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת על סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר כאבר אחד) נחלק ל-<math>n </math> (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, זה לא ממש מוגדר. וכמו שאמרו, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטה:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי -סדרה של an <math>a_n</math> ולכן הגבול שלהם הוא 0אפס, ולכן גם הביטוי שואף ל0לאפס?

בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוז. לא הגשתי את התרגילים 7,8 מפני שלא יכלתי יכולתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטר. האם אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציון? :אפשר להגיש אותם גם ביום ראשון.

תהי סדרה an<math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> . אם הגבול של an<math>{a_n}^2 </math> קיים ושווה למס' ממשי כלשהו, מה זה אומר לי לגבי הגבול של an<math>a_n</math> ? הוא לא חייב להיות קיים, נכון? אבל במידה וכן: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנ"ל, ואלו האפשרויות היחידות, נכון?

בדיוק. תמיד התת סדרה תת-הסדרה המורכבת מהשליליים של an <math>a_n</math> תתכנס למינוס השורש, ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורש. אם המספר הינו הנו אפס, אז גם an <math>a_n</math> תתכנס בהכרח לאפס.:מגניב. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan ל- <math>a_n</math> נכון?

::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתי, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב להיות הגבול אפס גם של an<math>a_n</math> .

== שאלה ==

מה היא רציפות? פונקציה הינה הנה רציפה אם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודה, כלומר שבכל נקודה היא שואפת לערך שלה בנקודה.

מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כללי. המילה "מידה" מתכוונת למהירות ההתכנסות. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות? על -ידי כמה קטן הדלתא ה- <math>\delta</math> שנדרש על -מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים <math>\epsilon</math> מסוים מהגבול.

כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו יש רציפות במידה שווה. כלומר, לכל אפסילון, <math>\epsilon</math> קיים דלתא, <math>\delta</math> כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר <math>x</math> , הפונקציה לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון <math>\epsilon</math> בציר <math>y</math> . ובמילים, הפונקציה מתכנסת פחות או יותר באותה מהירות לגבול שלה בכל נקודה בקטע.

האם יש דרך למדוד למה מתכנס הטור <math>\frac{(-1)^n*1/}{n}</math>?

איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד -צדדי? למשל, בפונקצייה בפונקציה <math>\sin\left(\frac{1/}{x}\right) </math> : האם מותר לי לומר שהגבול החד -צדדי של 0 מימין שווה ממש לגבול של ל- <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sin(x) כאשר x שואף לאינסוף</math> , אם קיים?

לוקחים שתי סדרות <math>0\leq le x_n,y_n \rightarrow 0to0</math>. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f(x_n),f(y_n) \rightarrow to L</math> כאשר L הינו הנו הגבול. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה.

הסדרות במקרה זה הינן הנן

<math>x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>

<math>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>

וכמובן ש - <math>\forall n: f(x_n)=1,f(y_n)=-1</math> עבור <math>f=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>

היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה שווה שמעולם לא שמעתי עליו, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם <math>f </math> רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כש-<math>\lim\limits_{x שואף לפלוס\מינוס אינסוף to\pm\infty}f(x)</math> (שניהם קיימים), אזי <math>f </math> רציפה במידה שווה.

:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך : <math>f </math> רבמ"ש בקטע <math>(a,b) <==/math> אם ורק אם הפונק' <math>f </math> רציפה בקטע זה, וקיימים גבולות חד צדיים -צדדיים ל-a ו-b. השאלה שלי היא : הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופיים, נכון? ודבר שני, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-b, למשל (לאחד מהם) - האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?

 1. אם פונקציה רציפה ב- <math>(a,b) </math> ואחד מהם או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ"ש. בצד הסופי, נניח a, זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע (<math>[a,b])</math> . בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים <math>M </math> המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילוןמ- <math>\epsilon</math> , ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילוןמ- <math>2\epsilon</math> , ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל- <math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן הפונקציה רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא <math>\delta</math> לאפסילון ו- <math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון מ- <math>2\epsilon</math> בלי שום קשר לדלתאל- <math>\delta</math> , ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במ"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה.

2. אם בצד הסופי הגבול הינו הנו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון מכיון שלפי משפט אם <math>f </math> אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>x</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו <math>x^2</math> אינה רציפה במ"ש.

::בשמחה. שים לב רק לנקודה חשובה (זלצמן מטעה בה בכוונה תמיד) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>\sin\left(\frac{1/}{x}\right)</math> יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי -רציפות ב0באפס. (היא גם לא רציפה במ"ש בקטע <math>(0,אינסוף\infty)</math>)

*נניח שיש לי פונקצייהפונקציה, כמו logx<math>\log(x)</math> . ידוע שהיא מוגדרת רק עבור <math>x>0</math> , אז האם אי-הרציפות ב-<math>x=0 </math> נחשבת לרציפות מסוג שני? (מפני שהגבול השמאלי לא קיים)*אם יש לי פונקצייה פונקציה כמו <math>f(x)=\frac{1}{|x|} </math> (כלומר, יש לה 'אסימפטוטה' ב-<math>x=0 </math> ששואפת לפלוס-אינסוף משני הצדדים), האם מדובר באי-רציפות מסוג שני? (הגבול השמאלי והימני לא סופיים, ולכן כביכול לא קיימים?) או שאולי באי-רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)