שינויים
היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:
א) נניח ש- כי <math>\sumdisplaystyle\limitssum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן <math>\sumdisplaystyle\limits 2sum_{n=1}^\infty2^nb_{2^n}</math> מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש- <math>2^nb_{2^n}\to 0to0</math> .
לכל <math>n</math> קיים <math>k</math> כך ש- <math>2^k\le n <2^{k+1}</math> (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת <math>k=\biggleft\lfloor\log_2(n)\biggright\rfloor</math>) .
הסדרה <math>\{b_n\}</math> יורדת ולכן <math>x<y\to b_x>b_y</math> .
נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש- <math>b_{2^{k+1}}\le b_n \le b_{2^k}</math>.
נכפיל ב- <math>n</math> (חיובי) את אגפי אי-השוויון: <math>n\cdot b_{2^{k+1}}\le n\cdot b_n\le n\cdot b_{2^k}</math>
נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: <math>0\leftarrow \fracdfrac{2^{k+1}\cdot b_{2^{k+1}}}{2}=2^k\cdot b_{2^{k+1}}\le n\cdot b_{2^{k+1}}\le n\cdot b_n \le n\cdot b_{2^k}\le 2le2^{k+1}\cdot b_{2^k}\to 0to0</math>
ולכן לפי [[משפט הסנדוויץ']] נקבל את הדרוש, <math>n\cdot b_n\to 0to0</math> .
::הבעיה בהוכחה הנ"ל הייתה שהנחתי שהנגזרת רציפה, מה שיופרך ממש בעוד רגע. אכן, אם הנגזרת של פונקצייה היא רציפה אז המשפט נכון לפי הנימוק שהבאתי: כי מרחק פונ' הנגזרת מהגבול שלה קטן מאפסילון, והגבול שלה שווה לנגזרת ולכן סופי. (בדוגמא של נועם גבול הנגזרת בנקודה אינו סופי.)
<math>f(x)=x^\frac{4}{3}\sin \frac{1}{x}</math> לכל <math>x\neq0</math> ו<math>f(0)=0</math> מתקיים <math>f'\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{x^{\frac{4}{3}}\sin\frac{1}{x}}{x}=0</math> אבל מתקיים לכל <math>x\neq0</math> מתקיים <math>f'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}\sin\frac{1}{x}-\frac{x^{\frac{4}{3}}\cos\frac{1}{x}}{x^{2}}</math> והיא כמובן לא חסומה בסביבה של 0
באופן מסודר:
נתבונן בפונ' בפונקציה <math>f(x)=\left\{\begin{matrixcases}x^2sin2\sin\left(\fractfrac{1}{x}\right)\\ &x \neq 0ne0\\ 0 &x=0 \end{matrixcases}\right.</math>.
היא גזירה ב- <math>[-1,1]</math>, אבל הנגזרת אינה רציפה ב0ב-0.
נימוק: לכל <math>x \neq 0ne0</math> בקטע, הפונ' הפונקציה היא הרכבת גזירות ולכן גזירה.בנקודה 0, עפ"י ההגדרה: <math>\lim_{x\rightarrow 0to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0to0}\frac{x^2sin(\frac{1}{x})}{x}=\lim_{x\rightarrow 0to0}x\cdot sin(\frac{1}{x})=0</math> (פונ' חסומה כפול שואפת לאפס; קל לפי משפט הסנדוויץ')
הגבול הנ"ל קיים ושווה 0, ולכן הוא שווה לנגזרת הפונ' הפונקציה בנקודה. לכן הפונקצייה הפונקציה אכן גזירה ב- <math>[-1,1]</math>.
הנגזרת אינה רציפה ב0ב-0, כי הגבול באפס של הנגזרת, <math>\lim_{x\rightarrow 0to0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0to0}(2xsin2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}))</math> אפילו אינו קיים.
==שאלה 8==
8)הטענה שגוייהשגויה - הפרכנו בתרגול.
