שינויים

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

''';דוגמאות.'''*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dotsldots</math>

*<math>0,0.9,0.99,0.999,\dotsldots</math>

*<math>1,\frac12,\frac13,\dotsldots</math>

''';משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac1{n}dfrac1n+\frac1dfrac1{n+1}+\cdots+\frac1dfrac1{3n}</math>

'''פתרון.'''נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל :<math>n</math> מתקיים <math>a_\displaystyle\begin{n+1align}-a_n\le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת. :<math>a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}</math>\\ :<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}frac1n\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1frac1n=0\end{nalign}=0</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

:<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math>

הוכיח ;פתרוןאנו נוכיח כי שתי הסדרות מתכנסותמונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''.

'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''. :<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\fracdfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}=\fracdfrac{_na_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\fracdfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge 0ge0</math>

:<math>a_{n+1}=\fracdfrac{a_n+b_n}{2}\le\fracdfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>

יהי <font size=4 color=#a7adcdmath>'''תרגיל.''' 0<c<1</fontmath>. נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה

יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה  :<math>\begin{cases}a_1=c</math>  ונוסחת הנסיגה  :<math>\\a_{n+1}=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math>

''';פתרון.''' 

:<math>a_{n+1}-a_n=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_n^2}{2}-\left(\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\fracdfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>

:<math>a_2-a_1=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{c^2}{2}-c=\fracdfrac{c^2}{2}-\fracdfrac{c}{2}<0</math>

(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot 1 cdot1= c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)

נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי אברי הסדרה חיוביים (כל איבר אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי <math>0</math> (הרי איבריה אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n = L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה

:<math>a_{n+1}=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_n^2}{2}</math>

:<math>\lim displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\limlim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math>

:<math>\begin{align}L=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{L^2}{2}</math> :<math>\\L^2-2L+c=0</math> :<math>\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}</math>