שינויים
הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת.
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
===א===
<math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\fracdfrac{2^{n^2}}{n!}</math>
קל לראות ש- כי <math>\fracdfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.
===ב===
<math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1{n}frac1n\right)}{\log^2(n)}</math>
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש-כי
<math>\fracdfrac{\fracdfrac{\sin\left(\frac1{n}frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\frac1dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to 1to1</math>
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל- <math>0</math>):
<math>\fracdfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\frac1dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math>
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
===ג===
<math>\sum (-displaystyle\sum_{n=1)}^n\frac{infty(-\pi)^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}{(2n)!}</math>
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>\biggleft|\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}\biggright|=\dfrac{\pi^{n+1}\fracdfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to \fracdfrac{\pi}{4}<1</math>
ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
<math>e^{-\frac1{x^3}}</math>
נקודת אי-הרציפות היא <math>0</math> . הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''.
===ב===
<math>\frac{\sin(x^2)}{\Bigbig|\sin(x^2)\Bigbig|}</math>
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת <math>1</math> כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, ו1- <math>-1</math> כאשר הוא שלילי, ב- <math>0</math> היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge 0ge0</math> . פרט ל- <math>0</math> , הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
ב- <math>0</math>, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
===ג===
בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> .
קל איפוא אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל- <math>2</math> מצד אחד ו- <math>2-2</math> מצד שני).
==שאלה 5==
===א===
<math>x\cdot\sin\left(\frac1tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
<math>\lim_{x\to 0to0}x\cdot\sin\left(\frac1tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה
<math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac1{x}frac1x\cdot\frac{\sin\left(\frac1tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot 1cdot1=0</math>
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
===ב===
<math>\frac{1}dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
===ג===
<math>\sqrt{\Bigbig|\cos(\pi x)\Bigbig|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> .
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\fracdfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot \Big[\fracdfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot \frac1dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}= </math>
ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math>
=המבחן של דר' שמחה הורוביץ=
==שאלה 3==
תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\epsilonvarepsilon</math> לכל <math>x\in (0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\frac1{g}dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> .
לכן, מתקיים <math>\Biggleft|\frac1dfrac1{g(x_1)}-\frac1dfrac1{g(x_2)}\Biggright|=\Biggleft|\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\Biggright|<\fracdfrac{\alpha\cdot\epsilonvarepsilon^2}{\epsilonvarepsilon^2}=\alpha</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> .
מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של <math>0</math> בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של <math>0</math> מתקיים <math>f(x)=\fracdfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> .
נותר להוכיח ש- כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש- כי <math>f(x)\le 0le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור איזה <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ- <math>0</math> , בסתירה.
