שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:
<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>
נפריד למקרים:
<math>x<0</math> : במקרה זה אי -השוויון הוא <math>-x + x <=0\le0</math> והוא תמיד מתקיים
<math>0 \leq le x \leq 1le1</math> : אי -השוויון הוא <math>x+x<=0\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x<=0\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>
<math>1 < x>1</math> : אי -השוויון הוא <math>x-1\leq 0le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\leq 1le1</math> ולכן אין פתרון
פתרון: <math>x \leq 0le0</math>
* <math>f(x+1)>0</math><math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>
נפריד למקרים:
<math>x>-1</math> : אי -השוויון הוא <math>(x+1)^2 > 0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>
<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
<math>x<-1</math> : אי -השוויון הוא <math>-(x+1)^2 > 0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון: <math>x > -1</math>
* <math>g\big(f(x)\Bigbig) \geq 0ge0</math>נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \geq 0ge0</math> לכל <math>x</math> :
<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>
<math>0 \leq le x \leq 1le1</math> : <math>g(x) = 2x \geq 0ge0</math>
<math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \geq 0ge0</math>
לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big) \geq 0 ge0</math> לכל <math>x</math>
* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>
::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math> ::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math>
:<math>x<-1</math> :<math>f(x+1)+g(x-1)=\begin{cases}x-(x+1)^2 & >x</math> . הפתרון הוא <math>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x dfrac{3+\leq sqrt5}{2 \\ 0 & }<x < -1\end{cases}</math>
<math>x<=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-(x+1)^2>x</math> לכן זה פתרון. הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>
<math>x=-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> לכן זה פיתרון.
<math>-1 < \le x < 1\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2+2x-2>x</math> . נכון לכל x.כל התחום הוא פתרון
<math>1 \leq x \leq >2</math> : <math>f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2xx-2 > x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון: <math>2<x</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x\dfrac{3+1)^\sqrt5}{2+x-2>x}</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>
*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math>
*<math>|g(x^2)<-f(x)| < x1</math>::<math>|g(x^2)-f(x)|=\begin{cases}|x^2-1 & +x<-1 \vee 1<x \\ ^2|=|2x^2 & -1 \leq |<x \leq 1 \end{cases}</math>.
<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . בגלל כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1 \leq le x < 0</math> : . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום<math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון
<math>0<x \le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|= x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> : נציב ונקבל שזה לא פתרון
<math>0 < x \leq >1 </math> : נקבל <math>|2xx^2-1-x^2|=x^21<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>כל התחום
<math>1<x</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום
 פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math>1 < x>1</math>
225
עריכות