שינויים

תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\to 0to0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל- <math>0</math>. לכן

<math>\fracdfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to 0to0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

כיון שהטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac1dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל- <math>0</math> ולכן הטור <math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1dfrac1{a_n}</math> מתבדר.

<math>a_n=\fracdfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac1{n}dfrac1n</math> מתבדר.

<math>2^n+(-1)^n2^n\le 2le2\cdot 2cdot2^n</math>

<math>2\sum displaystyle\biggsum_{n=1}^\infty\left(\frac23dfrac23\biggright)^n</math>

<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fracdfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>

<math>\begin{align}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>  <math>\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>\\\\  <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1\end{align}</math>

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

הטור מתבדר שכן סכום איבריו אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו אבריו החיוביים מתבדר.

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sumdisplaystyle\frac1sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .