שינויים
/* פולינום אופייני */
***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math>
***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
*דוגמא משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**הפולינום האופייני הינו <math>x^2+k=0</math>.
**שורשי הפולינום האופייני הינם <math>\pm\sqrt{k}i</math>.
**הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם <math>e^{0\cdot x}\cos\left(\sqrt{k}x\right),e^{0\cdot x}\sin\left(\sqrt{k}x\right)</math>.
*כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
**ראשית, נביט באופרטור <math>\frac{d}{dx}</math> ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב<math>I</math> את אופרטור הזהות.
**למשל המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> ניתנת להצגה כ<math>\left(\frac{d}{dx}^2-2\frac{d}{dx}+I\right)y=0</math>.
**לכן <math>\left(\frac{d}{dx}-I\right)\left(\frac{d}{dx}-I\right)y=0</math>.
**הפולינום האופייני של המד"ר הוא <math>(x-1)^2=0</math> ולכן <math>y=e^x</math> הוא פתרון.
**כעת, נראה כי גם <math>xe^x</math> הוא פתרון של המד"ר.
***<math>\left(\frac{d}{dx}-I\right)\left(\frac{d}{dx}-I\right)xe^x=\left(\frac{d}{dx}-I\right)(e^x+xe^x-xe^x)=0</math>
**באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא <math>n</math> אזי לכל <math>0\leq k \leq n-1</math> הביטוי <math>x^ke^{\lambda x}</math> הוא פתרון.
===סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים===
