שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט המימדים

נוספו 63 בתים, 13:38, 2 בספטמבר 2018
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
=משפט המימדיםהממדים=יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי: 
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
=הוכחה=
נסמן את הבסיס ל- ל־<math>U\cap W</math> ב- ב־<math>\{v_1,v_2,\dotsldots,v_k\}</math> . כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .  נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> . נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> . ===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>. ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math> ===<math>B</math> בת"ל===ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B: :<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0</math>.  נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math>  ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוךכיון ש־<math>U\cap W\sube U, W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>v=d_1v_1+...+d_kv_kW</math>.
כמו כןנסמן את הבסיסים <math>\{v_1, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> .
::נסמן את איחוד הבסיסים <math>vB=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot {v_1,\ldots,v_k,u_1+...+0,\cdot ldots,u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+b_pu_pW</math>.
ולכן <math>b_1=b_2=...=b_pB פורש את U+W=0==יהי <math>u+w\in U+W</math>.אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים:<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math>
===B בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>
כעת קיבלנו ברור משני אגפי המשוואה כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>,
אבל זה צירוף לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של איברי אברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלילחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> .
כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> ,
===ספירת מימדים וסיכום===אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי.
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל.
===ספירת ממדים וסיכום===מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת::<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
225
עריכות