שינויים
/* עבור מכפלה פנימית ממשית */
וזהו אי שיוויון קושי-שוורץ.
===עבור מכפלה פנימית מרוכבת===
נתחיל מאי השיוויון
:<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math>
אך הפעם נקבל
:<math>Re(\langle v,w \rangle) \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math>
על ידי הצבת הוקטורים המנורמלים נקבל את אי השיוויון החלש יותר:
:<math>Re(\langle v,w \rangle)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
נשים לב כי
:<math>Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) = Re(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,w \rangle) = |\langle v,w \rangle|^2</math>
כיוון שהערך המוחלט הוא מספר ממשי.
לכן,
:<math>|\langle v,w \rangle|^2=Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) \leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| = ||v||\cdot ||w|| \cdot |\langle v,w \rangle|</math>
ושוב קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ, כפי שרצינו.
=ביבליוגרפיה=
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
*The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.
