שינויים
/* טענת עזר */
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו <math>x_1<\leq...<\leq x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.
כיוון ש<math>x_1</math> הינו המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.
כעת שיוויון <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...+x_{n+1}= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.
לכן <math>x_{n+1}=1</math> או <math>x_1=1</math>. אם <math>x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע ש<math>x_2x_1=...=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.
===הוכחת אי שיוויון הממוצעים===
