שינויים
/* הרצאה 8 - התמרה הפוכה */
*כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
*האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
**<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math>
**שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.
===דוגמא===
*ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math>
*כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
**<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math>
*כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{-isx}ds </math>
*נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל:
**<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math>
*ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math>
*נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.
*לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>
===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
