שינויים
/* טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π */
=====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math>
*נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:
*<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}</math>
**עבור n=1 אכן מתקיים כי <math>f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}</math>
**יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**צ"ל <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}
=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**אכן בעזרת הנחת האינדוקציה <math>f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
