שינויים
/* הרצאה עשירית */
בכל חבורה אבלית יש איבר מסדר השווה לאקספוננט שלה (בכתה הוכחנו את הטענה רק לחבורת-p אבלית).
מכיוון שהחבורה A אבלית, פעולת ההעלאה בחזקת n היא הומומורפיזם, ואפשר להגדיר את הגרעין <math>\ A_n = \{x: x^n=1\}</math> והתמונה <math>\ A^n = \{x^n\}</math>. הראינו שחבורה אבלית מסדר nm, כאשר n,m זרים, היא מכפלה ישרה של תת-החבורות <math>\ A^n \times A^m</math>, שהאקספוננטים שהסדרים שלהן m ו-n בהתאמה. באינדוקציה, נובע מכאן שכל חבורה אבלית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות מסדר חזקת ראשוני.
המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.
