שינויים

'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש עבורה <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח שכי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

'''פתרון''': נוכיח ש כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.   :<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math> <math>\leq &\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...\cdots+|a_{n+1}-a_n|<</math> <math>\\&< \fracdfrac{1}{2^m}+\fracdfrac{1}{2^{m-1}}+...\cdots+\fracdfrac{1}{2^{n+1}}=\fracdfrac{1}{2^{n+1}}\left[\fracdfrac{1}{2^{m-n-1}}+...\cdots+1\right]</math> (לפי הנתון) <math>\\&=\fracdfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq le\frac{1}{2^n} \rightarrow 0to0\end{align}</math>

'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש עבורה <math>|a_{n+1}-a_n|\leq le p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> . הוכח שכי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת. '''פתרון''': נוכיח ש עבור <math>\{a_n\}0</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. דבר ראשון, נשים לב ש- p<math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math>   כעת,

'''פתרון''': נוכיח כי <math>|a_m-a_n|=|a_m-a_\{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq }</math>סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי:<math>|a_{n+1}-a_n|\leq le p|a_ma_n-a_{mn-1}|+\le p^2|a_{mn-1}-a_{mn-2}|+...+\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math>נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leqle p^{n-1}d</math>.

כעת:<math>\leq begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+...\cdots+p^{n-1}d \\&= p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...\cdots+1)\\&=p^{n-1}d(\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 to0\end{align}</math> (לפי מה שהראנו)

מכיוון שש־<math>p^n\rightarrow 0to0</math> עבור <math>p<1</math>.