שינויים
/* גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי */
===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===
*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.
*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הוכחה===
[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]
*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>
*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>
*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>
*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>
*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
