שינויים
/* הרצאה 12 */
התחלנו ללמוד את '''תורת החוגים''': נלמד רק חוגים קומוטטיביים עם יחידה. חוג קומוטטיבי, אם כך, הוא מערכת מתמטית עם שתי פעולות ("חיבור" ו"כפל") ושני קבועים ("0" ו"1"). הגדרנו מהם תת-חוגים, אידיאלים, סכום ומכפלה של אידיאלים (שגם הם אידיאלים), הומומורפיזמים של חוגים, גרעין ותמונה. משפט האיזומורפיזם הראשון לחוגים קובע שלכל הומומורפיזם <math>\ \phi : R \rightarrow S</math> מתקיים <math>\ R/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>.
== הרצאה שתים-עשרה ==
לכל איבר a בחוג R, קבוצת הכפולות <math>\ Ra = \{xa : x \in R\}</math> של a היא אידיאל; אידיאל מסוג זה נקרא '''אידיאל ראשי'''.
הגדרנו אידיאל מקסימלי; אידיאל (בחוג קומוטטיבי) הוא מקסימלי אם ורק אם המנה ביחס אליו היא שדה; בפרט, אידיאל האפס מקסימלי אם ורק אם החוג הוא שדה.
הגדרנו אידיאל ראשוני. אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם המנה ביחס אליו היא '''תחום שלמות''' (כלומר, חוג קומוטטיבי שאין בו מחלקי אפס. איבר <math>\ a \neq 0</math> הוא מחלק אפס אם יש איבר <math>\ b\neq 0</math> כך ש- <math>\ ab = 0</math>). בפרט, אפס הוא אידיאל ראשוני אם ורק אם החוג הוא תחום שלמות.
כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות (גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מוכל בשדה, הקרוי "שדה השברים" שלו). בפרט, כל שדה הוא תחום שלמות, ולכן כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני.
התכונות הבסיסיות של אברים בתחום שלמות סובבות סביב יחס החלוקה. כמו בשעור הראשון, <math>\ a|b</math> (קרי, a מחלק את b) אם קיים בחוג איבר c כך ש- <math>\ b = ac</math>. איבר הוא הפיך (ביחס לכפל!) אם ורק אם הוא מחלק את 1. מגדירים יחס '''חברות''', <math>\ a\sim b</math> אם a ו-b מחלקים זה את זה; באופן שקול, אם אחד מהם הוא כפולת השני באיבר הפיך. (שימו לב שהשקילות מניחה שבחוג אין מחלקי אפס).
איבר הוא אי-פריק אם אין לו מחלקים פרט לחבריו וההפיכים. איבר הוא ראשוני אם כשהוא מחלק מכפלה הוא מוכרח לחלק את אחד הגורמים שלה. p הוא איבר כזה אם ורק אם האידיאל הראשי ש-p יוצר, Rp, הוא ראשוני. בכל תחום שלמות, אם איבר מתפרק כמכפלה של גורמים ראשוניים, אז אין לו פירוק אחר לגורמים אי-פריקים.
הגדרנו '''חוג אוקלידי''', והראינו שאם a,b שונים מאפס, אז <math>\ d(a)=d(ab)</math> אם ורק אם b הפיך. מכאן נובע באינדוקציה שכל איבר בחוג אוקלידי הוא מכפלה של איברים אי-פריקים. הוכחנו גם שכל אידיאל של חוג אוקלידי הוא ראשי (לדוגמא, האידיאל <math>\ \mathbb{Z}n+\mathbb{Z}m</math> של <math>\ \mathbb{Z}</math> הוא ראשי; זהו המשפט שהוכחנו בשעור הראשון). מכאן נובע שבחוג אוקלידי, כל איבר אי-פריק יוצר אידיאל מקסימלי, ולכן הוא ראשוני. כלומר, בחוג אוקלידי המושגים "ראשוני" ו"אי-פריק" מתלכדים (למרות שהדבר אינו כך בתחומי שלמות כלליים).
בתרגיל תראו שחוג הפולינומים מעל שדה, <math>\ F[\lambda] = \{a_n\lambda^n+\cdot+a_1\lambda+a_0 : a_0,\dots,a_n\in F\}</math>, הוא חוג אוקלידי. מכאן שכל פולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים באופן יחיד.
