שינויים
/* הזהויות הפולריות */
===הזהויות הפולריות===
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ונביט בנורמה המושרית <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>.
כפי שהוכחנו, הנורמה מקיימת את כלל המקבילית. לכן לכל שני וקטורים <math>x,y\in V</math> מתקיים כי:
<math>||x+y||^2 =2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 </math>
ולכן
<math>\langle x+y,x+y\rangle + \langle x-y,x-y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math>
<math>\langle x,x\rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math>
<math>||x||^2 + \langle x,y \rangle + \overline{\langle x,y\rangle } +||y||^2 = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math>
וסה"כ נקבל כי
<math>2 Re \left(\langle x,y \rangle\right) = ||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2</math>
<math> Re \left(\langle x,y \rangle\right) = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2}</math>
מעל הממשיים, זו בדיוק הנוסחא שקיבלנו באמצעות משפט הקוסינוסים!
מעל המרוכבים עלינו למצוא גם את החלק המדומה של המכפלה הפנימית על מנת לקבל את הזהות הפולרית הכללית.
