שינויים
/* עוצמה כפול עצמה */
*הוכחה:
*תהי <math>S</math> קבוצת כל היחסים <math>R\subseteq (B\times B)\times B</math>, כך שקיימת תת קבוצה <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>R:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.
*כיוון ש<math>B</math> אינסופית, יש לה תת קבוצה <math>XY\subseteq B</math> כך ש <math>|XY|=\aleph_0</math>.*כיוון ש <math>\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0</math> קיימת פונקציה הפיכה <math>R:XY\times XY\to XY</math>.
*נביט ביחס ההכלה על <math>S</math>. לפי עקרון המקסימום של האוסדורף, קיימת שרשרת מקסימלית <math>\{R\}\subseteq M\subseteq S</math>.
*נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי של השרשרת <math>f=\cup_{T\in M} T</math>.
**לכן קיים <math>d_3\in X\subseteq D</math> כך ש <math>((d_1,d_2),d_3)\in T_2</math> ולכן <math>((d_1,d_2),d_3)\in f</math> כלומר <math>f</math> שלם.
*הוכחנו כי <math>f:D\times D\to D</math> היא פונקציה (יחס ח"ע ושלם) חח"ע, נותר להוכיח כי היא על:
**יהי <math>d\in D</math>. ראינו כי קיים <math>T\in M</math> וקיימים <math>a,b\in D</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math> ולכן <math>((a,b),d)\in f</math> ולכן הפונקציה על. *הוכחה כי <math>|D|=|B|</math>:*ראשית, נשים לב כי <math>Y\subseteq D</math> כיוון ש <math>R:Y\times Y\to Y</math> פונקציה הפיכה וכן <math>R\in M</math>, ולכן <math>D</math> אינסופית.*כעת, נזכור שהוכחנו כי <math>|D\times D|=|D|</math>.*נביט ב <math>B\setminus D</math> ונחלק למקרים:*אם <math>|B\setminus D|\leq D</math> אזי:**<math>|B|=|D|+|B\setminus D|\leq |D|+|D|\leq |D|\times |D| =|D|</math>**כמובן ש <math>|D|\leq |B|</math> ולפי ק.ש.ב נסיק כי במקרה זה <math>|B|=|D|</math> וסיימנו.*אם <math>|B\setminus D|\geq |D|</math> נראה כי נגיע לסתירה, ולכן מקרה זה בלתי אפשרי:**ניקח תת קבוצה <math>U\subseteq B\setminus D</math> כך ש <math>|U|=|D|</math>.**לכן <math>|U\times D \cup D\times U \cup U\times U|=|D|+|D|+|D|=|D|</math> (הרי ראינו מקודם כי <math>|D|+|D|=|D|</math>)**לכן קיימת פונקציה הפיכה <math>g:U\times D \cup D\times U \cup U\times U\to U</math>.**האיחוד <math>h=f\cup g</math> הוא פונקציה הפיכה <math>h:(U\cup D)\times (U\cup D)\to (U\cup D)</math>, ולכן <math>h\in S</math>.**ניתן להוסיף את <math>h</math> לשרשרת <math>M</math> ולהגדיל אותה, בסתירה למקסימליות שלה.
