שינויים

*הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+pa(x)\cdot y=qb(x)</math>.*מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+pa(x)\cdot y=0</math>.

*נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+pa(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''.*נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-pa(x)dx</math>.*נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-\int pA(x)dx +C</math>.*ולכן <math>y=C\cdot e^{-\int pA(x)dx}</math>

*כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}</math> במשוואה <math>y'+pa(x)y=qb(x)</math>.*נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}-pa(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx} + pa(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int pA(x)dx}=qb(x)</math>*משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}=qb(x)</math>.*כלומר <math>C'(x)=qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}</math>.*לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}\right]dx+C</math>

*סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+pa(x)\cdot y=qb(x)</math> הוא: <math>e^{-\int pA(x)dx}\cdot\left(C+\int\left(qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}\right)dx\right)</math>

**ראשית, נשים לב כי <math>pa(x)=-r</math> ו<math>qb(x)=0</math>.