שינויים

==הוכחת משפט אי השלימות האי-שלימות הראשון של גדל==אוסף כל המשפטים בתאוריה הוא בן מנייה. על כן ניתן לתת לכל משפט בתאוריה מספר (הנקרא '''מספר גדל''') שאותו נסמן בסוגריים מרובעים.<br>לדוגמא: אם <math>''3 > 5''</math> הוא המשפט השלישי בתאוריה אזי <math>[''3>5'']=3</math>.<br>באופן דומה, נשתמש בסוגריים מסולסלים על מנת לחזור מהמספר אל המשפט. בדוגמא: <math>\{3\}=\,''\!3>5''</math>.

מכיוון שאוסף כל המשפטים בתאורייה הוא בן מנייה ניתן לתת לכל משפט בתאוריה מספר ===הלמה של טרסקי (הנקרא '''מספר גדל'''Diagonal lemma), נסמן מספר זה בסוגריים מרובעים. לדוגמא: אם ===לכל פרדיקט עם משתנה מספרי אחד <math>''3 > 5''P(x)</math> הוא המשפט השלישי בתאורייה אזי קיים בתאוריה משפט <math>[''3 > 5'']=3s</math>. באופן דומה, נשתמש בסוגריים מסולסלים על מנת לחזור מהמספר אל המשפט. בדוגמאעבורו:: <math>s\{3\}=''3 > 5''iff P([s])</math>.

נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{N}\rightarrowto\mathbb{N}\cup\{0\}</math> באופן הבא:::אם <math>\{n\}=Q(x)</math> הוא נוסחא עם משתנה במשתנה מספרי יחיד <math>Q(x)=\{n\}</math> אזי <math>f(n):=[Q(n)]</math>.::אחרת, <math>f(n):=0</math>.*שימו לב שכי <math>Q(n)</math> הוא הצבת <math>n </math> בנוסחא עם משתנה, ולכן גם מהווה נוסחא בתאוריה ולכן יש לו מספר גדל.

נניח והמשפט כי המשפט השלישי בתאוריה הוא נוסחא מספרית <math>Q(x)=\,''\!x>2''</math>. במקרה זה <math>f(3)=[Q(3)]=[''3>2'']</math>.

:'''טענה''': <math>B([B])\iff P([B([B])])</math> לכל x '''הוכחה''':נניח <math>B([B])</math>. לכן <math>P(f([B]))</math>. נשים לב כי <math>f([B])=[B([B])]</math>. נובע כי <math>P([B([B])])x</math> כפי שרצינו.

מצד כיוון שני, : נניח <math>P([B([B])])</math>. כיוון שמהעובדה כי <math>f([B])=[B([B])]</math> נובע כי <math>P(f([B])))</math> לכן לפי ההגדרה <math>B([B])</math>.

::<math>s\iff P([s])\iff s</math>

===סיום הוכחת משפט אי השלימות האי-שלימות הראשון של גדל בעזרת הלמה של טרצקיטרסקי===שימו לב שמתוך כי מתוך הלמה של טרצקי טרסקי לא ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שהם 'אמת'. הרי אם הייתה היתה קבוצה כזו, היה אזי ניתן היה להגדיר נוסחא מספרית :<math>=P(x)</math> "<math>\{x\} </math> אינו שייך לקבוצת המשפטים שהם 'אמת' ". לפי הלמה קיים משפט השקול לכך שאינו בקבוצת האמת, ולכן אם הוא אמת הוא אינו אמת, ואם הוא אינו אמת הוא אמת. (זו סתירה הדומה לפרדוקס של ראסל.)

לעומת זאת, מכיוון שאוסף כל הטקסטים בשפה הוא בן מנייה, בפרט אוסף ההוכחות הוא בין מנייה, ולכן ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שניתן להוכיח (הם פשוט השורה האחרונה של כל הוכחה תקינה). נגדיר את הנוסחא :<math>=P(x)</math> "<math>\{x\} </math> אינו שייך לקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה ". כעת לפי הלמה של טרוצקי טרסקי יש משפט השקול לכך שהוא אינו בקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה. אם הוא היה שקר, סימן שהוא ניתן להוכחה ולכן הוא אמת וזו סתירה. אם הוא אמת, לעומת זאת, אין סתירה אך הוא אינו ניתן להוכחה.

מכאן המשפט נובע באופן ישיר: או שהתאוריה אינה שלימה (היא מכילה סתירה) או שהיא אינה עקבית (קיים משפט שלא ניתן להוכיחו ולא ניתן או להפריכו) או שהיא אינה עקבית (היא מכילה סתירה).