שינויים
/* הרצאה שתים-עשרה */
התכונות הבסיסיות של אברים בתחום שלמות סובבות סביב יחס החלוקה. כמו בשעור הראשון, <math>\ a|b</math> (קרי, a מחלק את b) אם קיים בחוג איבר c כך ש- <math>\ b = ac</math>. איבר הוא הפיך (ביחס לכפל!) אם ורק אם הוא מחלק את 1. מגדירים יחס '''חברות''', <math>\ a\sim b</math> אם a ו-b מחלקים זה את זה; באופן שקול, אם אחד מהם הוא כפולת השני באיבר הפיך. (שימו לב שהשקילות מניחה שבחוג אין מחלקי אפס).
איבר הוא אי-פריק אם אין לו מחלקים פרט לחבריו וההפיכים. איבר הוא ראשוני אם כשהוא מחלק מכפלה הוא מוכרח לחלק את אחד הגורמים שלה. p הוא איבר כזה אם ורק אם האידיאל הראשי ש-p יוצר, Rp, הוא ראשוני. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק (אבל ההיפך לא בהכרח נכון). בכל תחום שלמות, אם איבר מתפרק כמכפלה של גורמים ראשוניים, אז אין לו פירוק אחר לגורמים אי-פריקים.
הגדרנו '''חוג אוקלידי''', והראינו שאם a,b שונים מאפס, אז <math>\ d(a)=d(ab)</math> אם ורק אם b הפיך. מכאן נובע באינדוקציה שכל איבר בחוג אוקלידי הוא מכפלה של איברים אי-פריקים. הוכחנו גם שכל אידיאל של חוג אוקלידי הוא ראשי (לדוגמא, האידיאל <math>\ \mathbb{Z}n+\mathbb{Z}m</math> של <math>\ \mathbb{Z}</math> הוא ראשי; זהו המשפט שהוכחנו בשעור הראשון). מכאן נובע שבחוג אוקלידי, כל איבר אי-פריק יוצר אידיאל מקסימלי, ולכן הוא ראשוני. כלומר, בחוג אוקלידי המושגים "ראשוני" ו"אי-פריק" מתלכדים (למרות שהדבר אינו כך בתחומי שלמות כלליים).
בתרגיל תראו שחוג הפולינומים מעל שדה, <math>\ F[\lambda] = \{a_n\lambda^n+\cdots+a_1\lambda+a_0 : a_0,\dots,a_n\in F\}</math>, הוא חוג אוקלידי. מכאן שכל פולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים באופן יחיד, ושהאידיאל הנוצר על-ידי איבר אי-פריק הוא מקסימלי.
