שינויים

הגדרנו לכל <math>g\in G</math> את הפונקציה <math>\gamma_{g}:G\rightarrow G</math> המוגדרת ע"י <math>\gamma_{g}(x)=gxg^{-1}</math> וטענו כי זה אוטומורפיזם. כמו כן, הגדרנו <math>\Gamma :G\rightarrow Aut(G)</math> לפי <math>\Gamma(g)=\gamma_{g}</math> וטענו כי <math>Inn(G)\doteq Im(\Gamma)\triangleleft Aut(G)</math>. האם נכון לומר כי הפונקציות <math>\gamma_{g}</math> אמנם מגדירות אוטומורפיזמים אך לא בהכרח את כל האוטומורפיזמים ולכן לא בהכרח מתקיים <math>Im(\Gamma)=Aut(G)</math>? כלומר, האופן בו הגדרנו את <math>\gamma_{g}</math> בסה"כ מגדיר לנו אוטומורפיזם אבל זו אינה שיטה לקבל את כל האוטומורפיזמים האפשריים.

אני מבין כי עבור חבורה אבלית זה לא חייב לתת את כל האוטומורפיזמים האפשריים כי לכל <math>g\in G</math> מתקיים <math>\gamma_{g} = Id</math> בעוד שאם לחבורה כזו יש יותר מיוצר אחד אז אפשר להעביר כל יוצר לכל יוצר אחר ואז לקבל אוטומורפיזם שונה - כלומר, לא רק את <math>Id</math>, אבל מה לגבי חבורות לא אבליות?

=== איך מוכיחים <math>\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}\cong \mathbb{Z}_{lcm(n,m)}</math> ===