בדיקה== אינטגרציה =='''הגדרה שגוייה:''' אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות). דוגמת חישוב (ידני) של השטח: (1) ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר). נחלק את הקטע <math>[0,1]</math>: <math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math> <math>x_k=k/n</math> מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left(k\over n\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\bar S</math>. (2) ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>.הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math>. לכן נוכל להשאיף <math>n\to\infty</math> לקבל <math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math> === בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך! === '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. ''דוגמה:''... '''משפט 0:''' אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> '''הוכחה:''' נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> לכן <math>H'(x)=F'(x)-G'(x)</math> .... לפי תוצאה ממשפט לגראנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math> {{משל}} ----'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>.... המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>f(x)=A'(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. 2) אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>. ---- '''הוכחה:''' (א) (3)רואים <math>A(a)=0</math>המטרה <math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>. <math>A(x)</math> עולה כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> בציור <math>A(x+\Delta x}-A(x)</math> = השטח הארובה<math>\Delta x</math> = בסיס הארובהלכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. כאשר <math>\Delta x\to0</math> זה שואף ל-<math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)</math>. (ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> === הגישה של דרבו ===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>
