שינויים

== אינטגרציה =='''הגדרה שגוייה:''' אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשהעם זאת, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות)נותן אינדיקציה טובה לשטח זה.

====דוגמת חישוב (ידני) של השטח:שטח שמתחת לגרף====

נתון הגרף (1). נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).

ברור שסכום שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו . נחלק את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדרהקטע <math>[0,1]</math>:{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}(באופן כללי <math>x_k=k/n</math>).

נחלק את הקטע מעל כל תת קטע קטן <math>[0,x_{k-1},x_k]</math>נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>

כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>0=x_0[x_{k-1},x_k]<x_1<x_2/math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\dotsleft({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2<x_n/math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>x_k=k\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}

כמו כן, מעל כל קטע קטן '''הגדרה:''' תהי <math>[x_{k-1},x_k]f(x)\ge0</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו רציפה בקטע <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2[a,b]</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום . נסמן ב-<math>\underline S=int\frac1n\sum_{k=1}limits_a^n\leftb f({k-1\over n}\rightx)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}dx</math>את השטח שמתחת לגרף.

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש===המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)===תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.# לכל <math>x\underline Sin[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\le f(x)=A'(x)</math>.# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\leint\overline Slimits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.

====הוכחה====<ol><li>גרף (23). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.

ז"א יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>\frac{nA'(n+1x)(2n+1)}=\lim_{6n^3}\le ADelta x\leto0}\frac{nA(nx+1\Delta x)-A(2n+1x)}{6n^3\Delta x}</math>.הדבר נכון לכל בציור: <math>nA(x+\in\mathbb NDelta x)-A(x)</math>. לכן נוכל להשאיף = שטח הארובה, <math>n\to\inftyDelta x</math> לקבל = בסיס הארובה, לכן <math>\frac13\le frac{A(x+\le\frac13</math> ולכן <math>Delta x)-A=(x)}{\frac13Delta x}</math>= הגובה הממוצע של הארובה.

לכן <math>A'(x)</math> =הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> == בניית האינטגרל לפי דרבו <math>f(x)</math>. {{משל}}</li><li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש- אחר <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math>. {{משל}}</li></ol>

'''הגדרה:''' ==האינטגרל לפי דרבו=====הקדמה - הגדרות===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה וחסומה ע"י <math>Fm:=\inf f(x)</math> קדומה לו-f ב-I אם <math>\forall x\in IM:=\ F'sup f(x)=</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של fע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:{{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}עוד נגדיר לכל <math>k</math> את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(xP):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.

''דוגמה:''לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר ..<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.

'''משפט 0:''' אם <math>Fגרף (x4)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.

'''הוכחהבהתאם לכך נגדיר:* שטח חוסם - הסכום העליון:''' נגדיר <math>H\overline S(xf,P)=F(x)-G(x)\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> לכן * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>H'\underline S(xA,P)=F'(x)-G'(x)\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

....===משפט 1===לפי תוצאה ממשפט לגראנג' בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>Fm(x)b-G(xa)=H\le\underline S(xf,P)=c\implies Fle\overline S(xf,P)=G\le M(xb-a)+c</math>.

----'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>.... המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>f(x)=A'(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. 2) אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>. ---- '''הוכחה:''' (א) (3)רואים <math>A(a)=0</math>המטרה <math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>. <math>A(x)</math> עולה כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> בציור <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = השטח הארובה<math>\Delta x</math> = בסיס הארובהלכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. כאשר <math>\Delta x\to0</math> זה שואף ל-<math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)</math>. (ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> === הגישה של דרבו ===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>  עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> והפרמטר של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. (4) בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון<math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>ושטח חסום תחתון<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>  <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>  משפט 1: עבור כל חלוקה P <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (נשים לב כי <math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a) <math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) <math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math> לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int\limits_a}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_aint_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.

=== הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===תהי <math>f(x) </math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> . נאמר ש-f אינטגרבילית (לפי דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_aint_a^b f(x)dx=\overline{\int\limits_a}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int } f</math>.----דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>

====דוגמה====בקטע <math>M_k=\sup\{f[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x):=\ x_begin{k-1cases}q&x\le in\mathbb Q\\0&x\le x_knot\in\mathbb Q\end{cases}=1</math> וכן .נקח חלוקה כלשהי ל-<math>m_k[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}dots<x_n=0b</math>.

לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)}^n 1\Delta x_k=b-a</math>ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.

ואילו מכאן <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\sum_overline{k=1\int}_a^n m_k\Delta x_kb f(x)dx=\sum_{k=1)^n 0inf_P \Delta x_koverline S(f,P)=0b-a</math>.הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}

משפט 2'''הגדרה: ''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ו-נקראת עידון או העדנה של P אם Q עידון מכילה את כל נקודות החלוקה של P ע"י הוספת r ועוד נקודות. אז

<math>0\le\underline S(כאשר f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>}}(נזכיר ש-<math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup\sup_{x\in[a,b]} f(x)\}-\inf\inf_{x\in[a,b]} f(x)\}</math>)

ז"א כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.

====הוכחה: ====מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i':=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i'':=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. - לא שינינו כלום.לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_Delta M_i\Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math>

לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge ,M_i''</math>לכן ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\bigg(\Delta x_i-\Big((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')\Big)\bigg)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}