שינויים
/* הוכחה */
מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>
לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}
{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11|הרצאה השנייה]]:}} כמו כן, <math>\overline S(המשך בהרצאה הבאהf,P)-\overline S(f,Q)\le M_i(x_i-x_{i-1})-[m_i(x_i-x_i'))=M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\le\Omega(x_i-x_{i-1})\le\Omega\lambda(P)\cdot1</math> מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר <math>\Omega\lambda(P)</math>. לכן מיד נסיק <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P)</math>. ההוכחה לסכום תחתון דומה. {{משל}}
