שינויים

{{הערה|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}

תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.

הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק

ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}}

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.

עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. אם כן אז ממשפט דרבו <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx-\underline\int_a^b f(x)dx</math>. ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.

אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.

לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

תהי <math>f(x)</math> רציפה וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>|x_1-x_2|<\delta</math> אז <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>|y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף

{{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}

ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>: