נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\subseteq supseteq I_2 \subseteq supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>