שינויים

==משפט בולצאנו -ויירשטראס לסדרות==לכל סדרה חסומה יש תת -סדרה מתכנסת

ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא -יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא -עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפסל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\Big[b_n-a_n \Big]=0</math>.

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)

נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq le a_n \leq le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון כיון שבסדרה ישנם אינסוף איבריםאברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איבריםאברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

*כל קטע מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה <math>a_n</math>

*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון כיון שאורך הקטע הראשון הינו הנו <math>2M </math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\fracdfrac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.ל-0

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L הינו </math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו הנו קיום תת -סדרה השואפת אליו).

*יהי אפסילון גדול מאפס, <math>\varepsilon>0</math> . רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון <math>\varepsilon</math> של <math>L </math> ישנם אינסוף איברים אברים מהסדרה. *כיוון כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפסל-0, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי מ- <math>\dfrac{\varepsilon}{2}</math> . *לפי ההגדרה של <math>L </math> מהלמה של קנטור, <math>L </math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. *לכן בוודאי בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים אברים מהסדרה בסביבת אפסילון <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> . כפי שרצינו להוכיח.<math>\blacksquare</math>