שינויים

==משפט בולצאנו -ויירשטראס לסדרות==לכל סדרה חסומה יש תת -סדרה מתכנסת

ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא -יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא -עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפסל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim_{n\rightarrowto\infty}b_n-a_n =0</math>.

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)

נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq le a_n \leq le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון כיון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב - <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון כיון שאורך הקטע הראשון הינו הנו <math>2M </math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס ל- <math>0</math> לכן.-

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L הינו </math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו הנו קיום תת -סדרה השואפת אליו).

*יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון <math>\epsilon</math> של <math>L </math> ישנם אינסוף איברים מהסדרה. *כיוון כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפסל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי מ- <math>\frac{epsilon}{2}</math> . *לפי ההגדרה של <math>L </math> מהלמה של קנטור, <math>L </math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. *לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .