שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .

<math>a </math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שבצד שמצד אחד של <math>a </math> הפונקציה f גבוהה גדולה או שווה למשיק ל-<math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

'''משפט.:'''תהי <math>f </math> גזירה פעמיים בסביבה של בסביבת <math>a </math> כך שבצד שמצד אחד של <math>a בסביבה </math> הנגזרת השנייה אי -שלילית ובצד השני אי -חיובית, אזי <math>a </math> נקודת פיתול של <math>f</math>.

'''הוכחה.:'''

::<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה :<math>f(x)-\Big(f(a הינו)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>

::כיון שהנקודה <math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> כיוון שהנקודה c נמצא נמצאת בין <math>x לבין a</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי -שלילי בצד מצד אחד, ואי -חיובי בצד מהצד השני ולכן <math>a הינה </math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו.<math>\blacksquare</math>