הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
מ |
מ |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
2) התשובה היא ב'. | 2) התשובה היא ב'. | ||
− | הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to | + | הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to 0 </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>. |
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | ||
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ||
שורה 55: | שורה 55: | ||
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | ||
+ | |||
7) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>. | 7) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>. | ||
− | <math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{ | + | <math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math> |
+ | <math>=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}=\frac{ | ||
xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math> | xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math> | ||
− | <math>f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}</math> | + | <math>f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2} = \frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}</math> |
זהו שיפוע המשיק. | זהו שיפוע המשיק. | ||
שורה 105: | שורה 107: | ||
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | 12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | ||
+ | |||
<math> | <math> | ||
h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. | h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. |
גרסה מ־10:17, 1 בפברואר 2012
(המבחן )
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.
היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י (באינדוקציה - גדולה יותר מכל שאר איברי שגדולים יותר מכל איברי ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז .) פורמלית: יהי . מתקיים ולכן לכל קיים כך ש, כלומר כך ש. מש"ל.
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות: , . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , כלומר בקטע שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף.
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט ישירות (מה שהתברר כמיותר לאחר מעשה), אפשר להשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה h על ידי . כעת, נתבונן ב:
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
רציפה ובעלת מחזור ולכן רציפה במ"ש ב ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן החיובית הסגורה .
ידוע ש- רציפה במ"ש ב ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן השלילית הסגורה .
לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי .
מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן , ומכאן ש- . מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.