שינויים

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפסל-0. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי אברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math></math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה דוגמא את ב':

דוגמהדוגמא:<math>a_n=2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>, <math>b_n=-2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>.

(נובע ישירות מההגדרותהפרכה לג', שכן אם ד': <math>|a_n|<=\epsilondfrac1n</math> אז . ברור <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} to0</math>.פורמלית: יהי אבל <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n lim\limits_{n\to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall sqrt[n<N: |]{a_n|<\frac{1}{\epsilon }=1</math>, כלומר כך ש.אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac{1}dfrac1{|a_n|}>\epsilon to\infty</math>. מש"ל.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד4) התשובה היא ד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץאז ברור שההרכבה רציפה, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים שכן <math>f\fracbigl(g(x)\bigr)=\begin{1cases}{n^{x+5&x\fracne9\\x+5&x=9\end{1}{2}}cases}=x+5</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 5)4x & else*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\endfrac1{n^{matrix}\right.frac12}}</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע , שמתבדר לפי העיבוי כי <math>(-152\frac12<1</math> .3פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה',17)שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

הוכחת ב6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא': בשלילה, ג': <math>f(x)=\exists x_1,x_2 \in begin{cases}\mathbbdfrac{Rx}:x1 {2}&x\neq x_2 le4\wedge f(x_1) = f(x_2)\4x&x>4\end{cases}</math>.

הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f'(xx_1)=\frac{f(1+xcosxx_2)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{=</math> .

xcosxבסתירה לכך ש-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{<math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x+2x_2)^2}</math>בסתירה להיותם שווים.

 6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math> . מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\fracfrac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0(זה לא נימוק לגמרי פורמלי).  ==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>

כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac{1}{2}tfrac12\right)</math>, ונקבל:<math>y=\fracdfrac14x+\dfrac12</math>  8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math> . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:  <math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\fracfrac1{12n}-\frac1n=\frac2{42n}x-\frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.  9) <s>הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n\to\infty</math> אלא שואפת לאינסוף.</s>(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

<math>8\left(\frac{n}{n+2}\right) היה במערכי התרגול [[http://math^n=8\left(1-wiki.com/index.php?title\frac2{n+2}\right)^n=888\left(1-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

קיבלנו גורם 8, גורם <math>a_(e^{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+)^2}-\frac{</math> , וגורם 1}{n}\leq . לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\fracdfrac8{e^2}{2n}-\frac{>1}{n}=0</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדתהטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע עיתרה מכך, עפ"י 0 המשפט שהוכחנו (כי סכום חיוביים הוא חיובימשפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין). לכן הסדרה מתכנסתנובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלטלפי לייבניץ הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של וברור כי <math>8b_n\to0</math> שכן <math>\ln(n)\fracto\infty</math> , אבל המכפלה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sum_{n+2=1})^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)}</math>.מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר <math>8(\frac{n}{n+2})^nb_1=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}0</math>בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x1)=f(x1)-x1^2=f(1)-1<0</math>. כעת, נתבונן בואילו <math>h(10),h=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> ,ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (3כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>: .

באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math>ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים יש ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0-1,10)</math>. כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה:<math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>pf(x)=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב<math>\mathbbbegin{Rcases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>0\mathbbend{Rcases}</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.

ידוע ש- <math>x\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן השלילית החיובית הסגורה <math>(-[0,\infty,0])</math>.

לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש באיחוד הקטעיםב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty, שהוא הישר הממשי כולו0]</math> .

12 הורוביץ) פונ' רציפה <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(ויירשטראס IIc)=0</math> . בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונלכן <math>h' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ(c)=(f(x)-x)' תהיה אי=f'(x)-חיובית1=0</math> , בסתירהומכאן <math>f'(x)=1</math> .<math>\blacksquare</math>

12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>