פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

(המבחן )

חלק א'

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- $0$ . $a_n$ היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י $b_1$ (באינדוקציה - $b_1$ גדולה יותר מכל שאר איברי $b$ שגדולים יותר מכל איברי $a$) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, $b_n$ היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י $a_1$ ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: $a_n=2(1+\frac1{n})$ , $b_n=-2(1+\frac1{n})$ .

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': $a_n=\frac1{n}$ . ברור $a_n\to 0$ אבל $\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1$ . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן $\frac1{|a_n|}\to\infty$ .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם $|a_n|<\epsilon$ אז $\frac1{|a_n|}>\frac1{\epsilon}$ .) פורמלית: יהי $\epsilon>0$ . מתקיים $a_n\to\infty$ ולכן לכל $\frac1{\epsilon}$ קיים $N$ כך ש- $\forall n<N: |a_n|<\frac1{\epsilon}$, כלומר כך ש- $\frac1{|a_n|}>\epsilon$ . מש"ל.

3) ד'. $\infty$ או $0$ נק'. שתי דוגמאות: $a_n=n$ , $a_n=1+\frac1{n}$ . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה $x=c$ בחיתוך ונתבונן במקום $n=c+1$, כלומר בקטע $[c+1,\infty)$ שלא מכיל את $c$ כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\ne 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right.$, $g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\ne 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right.$

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן $f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\ne 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5$ והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.

גם $f$ וגם $g$ אינן רציפות ב- $9$ , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.

5) עבור $r=1$ מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור $r=0$ הטור מתכנס (ל- $0$) מה שפוסל את ב'. עבור $r=-1$ מקבלים $\frac1{n^{\frac12}}$, שמתבדר לפי העיבוי כי $\frac12<1$ . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור $-1<r<1$ , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right.$

עולה ממש ואינה רציפה בקטע $(-152.3,17)$ .

הוכחת ב': בשלילה, $\exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)$.

בסתירה לכך ש- $f$ עולה ממש, שהרי בה"כ $x_1<x_2$ ולכן $f(x_1)<f(x_2)$ בסתירה להיותם שווים.

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. הוכחה: $f$ עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. $f$ גזירה ב$x_0$ ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת $y_0$ . כעת, לפי ההנחה $f$ גזירה ב- $x_0$ ולכן $\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$ .

מכאן נקבל $\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)}$ , בהנחה שהנגזרת שונה מ- $0$ . לכן $\lim\limits_{y\to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)}$ ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה $x_0$ . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של $f$ , ולכן הנגזרת שונה מ- $0$ (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

חלק ב'

7) $f(x)=\frac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2}$ .

$f'(x)=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=$ $=\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}$

$f'(0)=\frac{-0^2\cdot\sin(0)+2\cos(0)-0\sin(0)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14$

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה $(0,\frac12)$ , ונקבל: $y=\frac12+\frac14x$ .

8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד $3n$. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

$a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}=\frac2{2n}-\frac1{n}=0$ ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י $0$ (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- $0$ כאשר $n$ שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של $8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n$ .

$8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2}$

קיבלנו גורם 8, גורם $(e^{-1})^2$ , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא $\frac{8}{e^2}>1$ , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10) הפרכה: ניקח $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ , $b_n=\frac{(-1)^n}{\log(n)}$ . לפי לייבניץ הטור $\sum a_n$ מתכנס, וברור ש- $b_n$ שואפת ל- $0$ שכן $\log(n)\to\infty$ , אבל המכפלה $\sum a_n\cdot b_n=\sum\frac1{n\cdot\ln(n)}$ מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר $b_1=0$ בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקצייה $h$ על-ידי $\forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2$ . כעת, נתבונן ב- $h(1),h(2),h(3)$ :

$h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0$ ואילו $h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0$ , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- $h$ יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע $(0,1)$ .

באותו האופן, $h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0$ ולכן יש ל- $h$ שורש בקטע $(-1,0)$ . כל שורש של $h$ הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה: מכיון ש- $\sin(2\cdot 0)=0$ אז ניתן להגדיר את $f$ "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת $f$). $f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0$.

$f(x)=x\ \forall x\le 0$.

$\sin(2x)$ רציפה ובעלת מחזור $p=\pi$ ולכן רציפה במ"ש ב- $\R$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\R$ , ובפרט בקרן החיובית הסגורה $[0,\infty)$ .

ידוע ש- $x$ רציפה במ"ש ב- $\R$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\R$ , ובפרט בקרן השלילית הסגורה $(-\infty,0]$ .

לכן $f$ רציפה במ"ש ב- $[0,\infty)$ וכמו כן ב- $(-\infty,0]$ . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת ($0$) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) $f$ רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקציה $h$ על-ידי $\forall x\in I: h(x)=f(x)-x$ .

$h$ מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע $I$ ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר $\exists c\in I: h'(c)=0$ . לכן $h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0$, ומכאן ש- $f'(x)=1$ . מש"ל.

12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. $\blacksquare$