הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:44, 15 בנובמבר 2011

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה $x^3+ax^2+bx+c=0$ ניתן להציב $x=y-a/3$ . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה $y^3+py+q=0$ עבור מספרים $p,q$ כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- $y$ כי $y=y_0$ הוא פיתרון אם ורק אם $x=y_0-a/3$ הוא פיתרון של המשוואה ב- $x$ .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה $y^3+py+q=0$ .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם $p=0$ או $q=0$ ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

שיטה ראשונה (טרטליה)

נחפש $u,v$ כך שיתקיים $u^3+v^3=-q$ ו- $uv=-p$ .

טענה: במצב זה, $y=u+v$ הוא שורש של המשוואה.

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי  <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.
-לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.
+'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''
+'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
+== שיטה ראשונה (טרטליה) ==
+נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p</math>.
+'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:44, 15 בנובמבר 2011

לפני שמתחילים

שיטה ראשונה (טרטליה)

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים