הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:36, 22 בנובמבר 2011

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה $x^3+ax^2+bx+c=0$ ניתן להציב $x=y-a/3$ . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה $y^3+py+q=0$ עבור מספרים $p,q$ כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- $y$ כי $y=y_0$ הוא פיתרון אם ורק אם $x=y_0-a/3$ הוא פיתרון של המשוואה ב- $x$ .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה $y^3+py+q=0$ .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם $p=0$ או $q=0$ ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

שיטה ראשונה (טרטליה)

נחפש $u,v$ כך שיתקיים $u^3+v^3=-q$ ו- $uv=-p/3$ .

טענה: במצב זה, $y=u+v$ הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

$y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0$

מש"ל.

כדי למצוא $u,v$ נשים לב ש- $u^3\cdot v^3=-p^3/27$ ולכן $u^3,v^3$ הם שורשים של המשוואה הריבועית $t^2+p^3/27-q=0$ . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות $t_1,t_2$ ואז נבחר $u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}$ .

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

בבב

@@ שורה 24: / שורה 24: @@
 כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.
+== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==
+בבב

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:36, 22 בנובמבר 2011

לפני שמתחילים

שיטה ראשונה (טרטליה)

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים