הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה $x^3+ax^2+bx+c=0$ ניתן להציב $x=y-a/3$ . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה $y^3+py+q=0$ עבור מספרים $p,q$ כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- $y$ כי $y=y_0$ הוא פיתרון אם ורק אם $x=y_0-a/3$ הוא פיתרון של המשוואה ב- $x$ .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה $y^3+py+q=0$ .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם $p=0$ או $q=0$ ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

שיטה ראשונה (טרטליה)

נחפש $u,v$ כך שיתקיים $u^3+v^3=-q$ ו- $uv=-p/3$ .

טענה: במצב זה, $y=u+v$ הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

$y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0$

מש"ל.

כדי למצוא $u,v$ נשים לב ש- $u^3\cdot v^3=-p^3/27$ ולכן $u^3,v^3$ הם שורשים של המשוואה הריבועית $t^2+p^3/27-q=0$ . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות $t_1,t_2$ ואז נבחר $u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}$ .

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

נציב $y=\alpha\cos\theta$ כאשר $\alpha=\sqrt{-4p/3}$ . אם נשתמש בזהות $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta$ נקבל:

$0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}(\cos 3\theta + 3\cos\theta)-p\alpha\cos\theta=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+\alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+p)\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+q$

לכן, מספיק למצוא $\theta$ כך ש- $\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}$ כדי ש- $y=\alpha\cos\theta$ יהיה פיתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- $\arccos$ מרוכב כדי לחלץ את $3\theta$ ואז נצטרך להפעיל $\cos$ מרוכב על $\theta$ (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011 (הצגת מקור) Ufirst (שיחה \| תרומות) (←‏שיטה שנייה (מאוחרת יותר)) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011 (הצגת מקור) Ufirst (שיחה \| תרומות) (←‏שיטה שנייה (מאוחרת יותר)) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 33:		שורה 33:

	לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.		לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.
−	בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (~~שכנראה~~ יהיה מספר מרוכב).	+	בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011

לפני שמתחילים

שיטה ראשונה (טרטליה)

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים