שינויים

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

== לפני שמתחילים ==בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה תהיה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון פתרון אם ורק אם <math>x=y_0-\frac{a/}{3}</math> הוא פיתרון פתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.

'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''

'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-<math>0</math> .

== שיטה ראשונה (טרטליהטארטאגליה) == נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים :<math>u^3+v^3=-q</math> ו-:<math>uv=-\frac{p/}{3}</math>.

<center><math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math></center>

כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-\frac{p^3/}{27}</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>. 

== שיטה שנייה שניה (מאוחרת יותר) ==נציב <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}</math> . אם נשתמש בזהות <math>\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)</math> נקבל:

נציב <center><math>y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta</math> כאשר <math>)+p\alpha\cos(\theta)+q=\sqrtfrac{-4p/\alpha^3}</math>. אם נשתמש בזהות <math>\bigl(\cos (3\theta = 4)+3\cos^3(\theta)\bigr)}{4}-3p\alpha\cos(\theta)</math> נקבל:</center>

<center><math>0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q=\fractfrac{\alpha^3}{4}(\cos (3\theta )+ 3\cos\theta)-p\alpha\cos\theta=left(\fractfrac{3\alpha^32}{4}\cos 3\theta+p\alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+pright)\cos(\theta)+q=\fractfrac{\alpha^3}{4}\cos (3\theta)+q</math></center>

לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos (3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos(\theta)</math> יהיה פיתרוןפתרון.בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).